Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．
（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的大小關系．
（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結論．
（3）當點M、N分別在AB、AC上運動時，四邊形AMON的面積是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是直角三角形，點O是BC的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故有OA=OB=OC=

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BC；
（2）由于OA是等腰直角三角形的斜邊上的中線，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS證得△AON≌△BOM可得：ON=OM  ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
（3）由全等三角形的面積相等和圖中圖形間的面積關系得到：

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O為BC的中點，
∴OA=

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BC=OB=OC，
即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
連接AO
∵AC=AB，OC=OB
∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，
在△AON與△BOM中，

AN=BM  ∠NAO=∠B  OA=OB

，
∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；

（3）當點M、N分別在AB、AC上運動時，四邊形AMON的面積不發(fā)生變化．理由如下：
M、N運動時始終有△AON≌△BOM，
故S_{四邊形AMON}=S_AMO+S_MBO=S_ABO=

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S_ABC．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點的應用，題目比較好，主要考查了學生運用定理進行推理的能力．