已知平行四邊形，．點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連結(jié)，連結(jié)，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．

（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證與的面積相等；

（2）當(dāng)為上任意一點(diǎn)時(shí)，與的面積還相等嗎？說明理由．

 

【答案】

（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，

又，

，

兩點(diǎn)到的距離相等，為，

則，

，

．

（2）解：法一：當(dāng)為上任意一點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，

四邊形是平行四邊形，

，

，

在中，邊上的高，

　　，

　　，

又在中，邊上的高，

，

．

法二：為平行四邊形，

，

又，

，

即．

【解析】（1）S△EFC=FC•高h(yuǎn)，S△ABF=BF•高h(yuǎn)′，而△EFC與△ABF的面積相等且當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，所以必須證明h=h′，而h=ABsinα，h′=EBsinα，所以證明方向轉(zhuǎn)化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來解答，因此便可求證所求；

（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S△ABC=S△CDE，又因?yàn)椤鰽CF和△CDF同底等高，所以S△AFC=S△CDF．∴S△ABC-S△AFC=S△CDE-S△CDF，即S△ABF=S△EFC．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)F為線段BC上一點(diǎn)（端點(diǎn)B，C除外），連接AF，AC，連接DF，并延長(zhǎng)DF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE．
（1）當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證△EFC與△ABF的面積相等；
（2）當(dāng)F為BC上任意一點(diǎn)時(shí)，△EFC與△ABF的面積還相等嗎？說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•嘉定區(qū)一模）如圖，已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)．設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
．用向量
a
、
b
表示向量
DM
，
DM
=
a
-
1
2
b
a
-
1
2
b
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)E是AD邊上的點(diǎn)，且AE=2ED，連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
BA
=
a
，
BC
=
b
，試用向量
a
，
b
表示
BF
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2006年初中畢業(yè)升學(xué)考試（山東濰坊卷）數(shù)學(xué)（帶解析） 題型：解答題

已知平行四邊形，．點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連結(jié)，連結(jié)，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證與的面積相等；
（2）當(dāng)為上任意一點(diǎn)時(shí)，與的面積還相等嗎？說明理由．

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