Question

如圖，梯形中，∥，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度在線段上運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．以為邊作等邊△，與梯形在線段的同側(cè)．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．

 

  （1）當(dāng)?shù)冗叀?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2012092009534134305076/SYS201209200954165878627879_ST.files/image013.png">的邊恰好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；

  （2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊△與梯形的重合部分面積為，請直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍；

  （3）如圖，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，將等邊△繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)()，

直線分別與直線、直線交于點(diǎn)、．是否存在這樣的，使△ 為等腰三角形？若存在，請求出此時(shí)線段的長度；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）4s（2）

（3）DM的長為：

【解析】（1）當(dāng)EG經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)

     ∴△EGF為等邊△

     ∴∠AEF＝60⁰＝∠B+∠BAE

     ∴∠BAE＝∠B＝30⁰

     ∴BE＝AE＝t＝EF

     ∴此時(shí)G與A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos30⁰=4

      t=4s              ......3分

 （2）.................8分

  （3）存在；①當(dāng)M點(diǎn)在線段CD上時(shí)，

       △DMN為等腰三角形

       當(dāng)MD＝MN

       此時(shí)：∠C＝∠1＝∠N=∠CDN＝30⁰

       ∴ME＝MC

      作MH⊥CE

      EH=

      ∴

      ∴DM=

      當(dāng)D＝D時(shí)

      此時(shí)

      D＝，不存在

      當(dāng)ND＝NM時(shí)，則∠NDM＝∠DMN＝30⁰，則M不在線段CD上. ∴舍

②當(dāng)M在CD延長線上時(shí)

  當(dāng)N₁D=N₁M₁時(shí)

   ∠1＝∠M₁,又∠1＝∠2

   ∴∠2＝∠

   ∴EM₁=CE=

   過E作EH⊥CM₁

   則CM₁=2CH=2×CE•cos30⁰

    =

   ∴DM₁=

   當(dāng)DM₂=DN₂時(shí)

   可知CM₂=CE=

   ∴DM₂=

   當(dāng)M₃D=M₃N時(shí)

   此時(shí)∠M₂N₂D=∠1=30°

   ∴此時(shí)：∠M₃EC=30⁰

   則M不在CD延長線上

   ∴舍去

③當(dāng)M在DC延長線上時(shí)

   ∵∠D為150⁰

   ∴△DMN為等腰△時(shí)

    只有DM＝DN

   則：∠N＝∠1＝∠2＝∠M

   ∴CE＝CM＝

   ∴DM＝4

綜上所述DM的長為：.................12分

本試題主要是考查了等邊△與梯形的重合部分面積為與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，以及利用三角形中的三角函數(shù)值得到邊長問題的綜合運(yùn)用。

（1）當(dāng)EG經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)

     ∴△EGF為等邊△

     ∴∠AEF＝60⁰＝∠B+∠BAE

     ∴∠BAE＝∠B＝30⁰

     ∴BE＝AE＝t＝EF

     ∴此時(shí)G與A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos30⁰=4

      t=4s

（2）根據(jù)時(shí)間與面積的關(guān)系式需要分情況討論得到。

（3）當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，將等邊△繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)()，

直線分別與直線、直線交于點(diǎn)、．假設(shè)存在這樣的，使△ 為等腰三角形

那么要對點(diǎn)M是在線段CD上，還是在線段CD的延長線上，還是在DC的延長線上三種情況來分析即可。