Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＞x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x₁，x₂是方程x ²－2x－8＝0的兩個(gè)根．

1.求這條拋物線的解析式；

2.點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

3.探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

 

1.∵x²-2x-8=0 ，∴(x-4)(x+2)=0.∴x₁=4,x₂=-2.

　　      ∴A(4,0) ,B(-2,0)

又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c (a≠0)，

∴ 　　∴

　     ∴所求拋物線的解析式為y＝－x² ＋x＋4

2.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G.

 

　　       ∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)A坐標(biāo)(4,0)，

　　       ∴AB=6， BP=m+2.

　　       ∵PE∥AC，

　　       ∴△BPE∽△BAC.

　　       ∴.

　　       ∴.∴EG＝

　　       ∴S_△CPE= S_△CBP- S_△EBP=BP•CO－BP•EG

　　       ∴(m＋2)（4－）.＝－m ² ＋m＋

　　       ∴ (m－1) ² ＋3

　　       又∵-2≤m≤4，

　　       ∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CPE有最大值3.

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0).

3.存在Q點(diǎn)，其坐標(biāo)為Q₁(1，1)，Q₂(1，)，Q_3.(1，－)，

　　       Q_4. (1，4＋)，Q_5. (1，4－)．                             5分

解析:（1）先通過解方程求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（2）本題要通過求△CPE的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式而后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求△CPE的面積的最大值以及對(duì)應(yīng)的P的坐標(biāo)．△CPE的面積無法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面積差來求，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出BP的長，可通過相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP邊上的高，然后根據(jù)三角形面積計(jì)算方法即可得出△CEP的面積，然后根據(jù)上面分析的步驟即可求出所求的值．

（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：

①Q(mào)C=BC，那么Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去或加上BC的長．由此可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

②QB=BC，此時(shí)Q，C關(guān)于x軸對(duì)稱，據(jù)此可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

③QB=QC，Q點(diǎn)在BC的垂直平分線上，可通過相似三角形來求出QC的長，進(jìn)而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．