Question

已知：如圖所示，已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點（1，

3

）和點A，過點A的直線y=-

3

3

x+

3

與y軸交于點B，點C為拋物線上的一個動點，過點C作CD⊥x軸于點D，交直線AB于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求出點B的坐標(biāo)；
（3）若S_梯形OBED=

4 3

3

，求點C的坐標(biāo)；
（4）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)，這些點是否在拋物線上，若在拋物線上，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求拋物線的解析式，只要通過直線的解析式求出A點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法就可以求出其拋物線的解析式．
（2）當(dāng)x=0時代入直線的解析式就可以求出對應(yīng)的函數(shù)值，從而求出點B的坐標(biāo)．
（3）設(shè)出C點的坐標(biāo)，表示出點E的縱坐標(biāo)，表示出DE，根據(jù)梯形的面積公式建立等量關(guān)系就可以求出C點的坐標(biāo)．
（4）根據(jù)兩三角形相似的性質(zhì)，求出P點的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式確定是否在拋物線上．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時，0=-

3

3

x+

3

，解得：x=3，
∴A（3，0）
∴

3 =-1+b+c 0=-9+3b+c

解得：

b= 8- 3 2 c= 3 3 -6 2

∴拋物線的解析式為：y=-x²+(4-

3

2

) x+

3 3 -6

2

（2）當(dāng)x=0時，y=

3

∴B（0，

3

）

（3）設(shè)C（m，n），則n=-m²+(4-

3

2

)m+

3 3 -6

2

∴C（m，-m²+(4-

3

2

)m+

3 3 -6

2

）
E（m，-

3

3

m+

3

）
∴DE=-

3

3

m+

3

，OD=m，OB=

3

∴

(- 3 3 m+ 3 + 3 )m

2

=

4 3

3

解得：
m₁=2，m₂=4（舍去）
∴C（2，1+

3

2

）．

（4）存在．
∵在Rt△AOB中，OA=3，OB=

3

，由勾股定理得AB=2

3

，
∴∠BAO=30°，
當(dāng)△OBA∽△BOP₁時，
∴∠P₁=30°，∠OBP₁=90°，
∴OP₁=2BO=2

3

，由勾股定理得：BP₁=3，
∴P₁（3，

3

），
當(dāng)△OBA∽△BP₂O時，
∴∠BOP₂=30°，∠OBP₂=90°，
由勾股定理得：BP₂=1，
∴P₂（1，

3

），
當(dāng)△OBA∽△P₃BO時，∠BOP₃=30°，∠BP₃O=90°，
∴勾股定理得，BP₃=

3

2

，OP₃=

3

2

，利用勾股定理可以求得：P₃F=

3

4

3

，OF=

3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3

4

3

），
當(dāng)△OBA∽△P₄OB時．∠OBP₄=30°∠OP₄B=90°，
∴OP₄=

3

2

，P₄F=

3

4

，OF₁=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

），
P點的坐標(biāo)分別是：P₁（3，

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3

4

3

），P₄（

3

4

，

3

4

）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，用解析式求函數(shù)的交點坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的面積公式的運(yùn)用．