【題目】如圖,直線y=﹣2x+3x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線yax2+x+c經(jīng)過BC兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖,點E是直線BC上方拋物線上的一動點,當△BEC面積最大時,請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值?

(3)(2)的結論下,過點Ey軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以PQ、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,請直接寫出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣2x2+x+3;(2)E的坐標是(,)時,△BEC的面積最大,最大面積是;(3)在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標是(﹣,﹣3)(2,﹣3)(﹣,2).

【解析】

(1)首先根據(jù)直線y=﹣2x+3x軸交于點C,與y軸交于點B,求出點B的坐標是(0,3),點C的坐標是(4,0);然后根據(jù)拋物線yax2+x+c經(jīng)過BC兩點,求出ac的值是多少,即可求出拋物線的解析式.

(2)首先過點Ey軸的平行線EF交直線BC于點M,EFx軸于點F,然后設點E的坐標是(x,﹣2x2+x+3),則點M的坐標是(x,﹣2x+3),求出EM的值是多少;最后根據(jù)三角形的面積的求法,求出SABC,進而判斷出當△BEC面積最大時,點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可.

(3)在拋物線上存在點P,使得以P、QA、M為頂點的四邊形是平行四邊形.然后分三種情況討論,根據(jù)平行四邊形的特征,求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可.

(1)∵直線y=﹣2x+3x軸交于點C,與y軸交于點B,

B的坐標是(0,3),點C的坐標是(,0),

拋物線yax2+x+c經(jīng)過B、C兩點,

,

解得,

拋物線的解析式為:y=﹣2x2+x+3;

(2)如圖1,過點Ey軸的平行線EF交直線BC于點MEFx軸于點F,

E是直線BC上方拋物線上的一動點,

設點E的坐標是(x,﹣2x2+x+3),

則點M的坐標是(x,﹣2x+3),

EM=﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)=﹣2x2+3x

SBECSBEM+SMEC

EMOC

×(﹣2x2+3x

=﹣(x)2+

x時,即點E的坐標是()時,BEC的面積最大,最大面積是;

(3)在拋物線上存在點P,使得以P、QA、M為頂點的四邊形是平行四邊形,

如圖2,AMPQ,AMPQ

(2),可得點M的橫坐標是

M在直線y=﹣2x+3上,

M的坐標是(,),

拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x,

設點P的坐標是(x,﹣2x2+x+3),

A的坐標是(﹣1,0),

xPxAxQxM,x﹣(﹣1)=

解得x=﹣,

此時P(﹣,﹣3);

如圖3,由(2)知,可得點M的橫坐標是,

M在直線y=﹣2x+3上,

M的坐標是(,),

拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x,

設點P的坐標是(x,﹣2x2+x+3),點Q的橫坐標是,

A的坐標是(﹣1,0),

xQxAxPxM,即﹣(﹣1)=x,

解得x=2,

此時P(2,﹣3);

如圖4,由(2)知,可得點M的橫坐標是,

M在直線y=﹣2x+3上,

M的坐標是(),

拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x

設點P的坐標是(x,﹣2x2+x+3),點Q的橫坐標是,

A的坐標是(﹣1,0),

xPxAxMxQ,即x﹣(﹣1)=,

解得x=﹣,

此時P(﹣,2);

綜上所述,在拋物線上存在點P,使得以PQ、AM為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標是(﹣,﹣3)(2,﹣3)(﹣,2).

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