Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補.

（1）求∠C的度數； （2）若BC>CD且AB=AD，請在圖上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個正方形，并說明理由； （3）若CD=6，BC=8，S四邊形ABCD=49，求AB的值.

Answer 1

解：（1）∵∠ABC與∠ADC互補，                 ∴∠ABC+∠ADC=180°.               ∵∠A=90°， ∴∠C=360°-90°-180°=90°； （2）過點A作AE⊥BC，垂足為E. 則線段AE把四邊形ABCD分 成△ABE和四邊形AECD兩部分，把△ABE以A點為旋轉中心， 逆時針旋轉90°，則被分成的兩部分重新拼成一個正方形. 過點A作AF∥BC交CD的延長線于F， ∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF. ∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°， ∴△ABE≌△ADF. ∴AE=AF. ∴四邊形AECF是正方形； （3）連結BD， ∵∠C=90°，CD=6，BC=8，BCD中，         又∵S四邊形ABCD=49，∴S△ABD=49-24=25.            過點A作AM⊥BD垂足為M， ∴S△ABD=×BD×AM=25            .∴AM=5. 又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△ABD.            設BM=x，則MD=10-x， ∴.解得x=5. ∴AB=