(2012•紹興)如圖,矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,連接AC,拋物線y=x2-4x-2經(jīng)過A,B兩點(diǎn).
(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長;
(2)若點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng),1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個(gè)單位的速度沿AO,OC,CB邊向點(diǎn)B移動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng),點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒.
①當(dāng)PQ⊥AC時(shí),求t的值;
②當(dāng)PQ∥AC時(shí),對于拋物線對稱軸上一點(diǎn)H,∠HOQ>∠POQ,求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的取值范圍.
分析:(1)已知拋物線的解析式,將x=0代入即可得A點(diǎn)坐標(biāo);由于四邊形OABC是矩形,那么A、B縱坐標(biāo)相同,代入該縱坐標(biāo)可求出B點(diǎn)坐標(biāo),則AB長可求.
(2)①Q(mào)點(diǎn)的位置可分:在OA上、在OC上、在CB上 三段來分析,若PQ⊥AC時(shí),很顯然前兩種情況符合要求,首先確定這三段上t的取值范圍,然后通過相似三角形(或構(gòu)建相似三角形),利用比例線段來求出t的值,然后由t的取值范圍將不合題意的值舍去;
②當(dāng)PQ∥AC時(shí),△BPQ∽△BAC,通過比例線段求出t的值以及P、Q點(diǎn)的坐標(biāo),可判定P點(diǎn)在拋物線的對稱軸上,若P、H1重合,此時(shí)有∠H1OQ=∠POQ,顯然若做點(diǎn)H1關(guān)于OQ的對稱點(diǎn)H2,那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ,而題干要求的是∠HOQ>∠POQ,那么H1點(diǎn)以下、H2點(diǎn)以上的H點(diǎn)都是符合要求的.
解答:解:(1)由拋物線y=x2-4x-2知:當(dāng)x=0時(shí),y=-2,
∴A(0,-2).
由于四邊形OABC是矩形,所以AB∥x軸,即A、B的縱坐標(biāo)相同;
當(dāng)y=-2時(shí),-2=x2-4x-2,解得x1=0,x2=4,
∴B(4,-2),
∴AB=4.

(2)①由題意知:A點(diǎn)移動(dòng)路程為AP=t,
Q點(diǎn)移動(dòng)路程為7(t-1)=7t-7.
當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時(shí),即0≤7t-7<2,1≤t<
9
7
時(shí),
如圖1,若PQ⊥AC,則有Rt△QAP∽R(shí)t△ABC.
QA
AB
=
AP
BC
,即
7t-7
4
=
t
2

∴t=
7
5

7
5
9
7

∴此時(shí)t值不合題意.
當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí),即2≤7t-7<6,
9
7
≤t<
13
7
時(shí),
如圖2,過Q點(diǎn)作QD⊥AB.
∴AD=OQ=7(t-1)-2=7t-9.
∴DP=t-(7t-9)=9-6t.
若PQ⊥AC,易證Rt△QDP∽R(shí)t△ABC,
QD
AB
=
DP
BC
,即
2
4
=
9-6t
2
,∴t=
4
3
,
9
7
4
3
13
7

∴t=
4
3
符合題意.
當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí),即6≤7t-7≤8,
13
7
≤t≤
15
7
時(shí),
如圖3,若PQ⊥AC,過Q點(diǎn)作QG∥AC,
則QG⊥PG,即∠GQP=90°.
∴∠QPB>90°,這與△QPB的內(nèi)角和為180°矛盾,
此時(shí)PQ不與AC垂直.
綜上所述,當(dāng)t=
4
3
時(shí),有PQ⊥AC.

②當(dāng)PQ∥AC時(shí),如圖4,△BPQ∽△BAC,
BP
BA
=
BQ
BC
,
4-t
4
=
8-7(t-1)
2

解得t=2,即當(dāng)t=2時(shí),PQ∥AC.
此時(shí)AP=2,BQ=CQ=1,
∴P(2,-2),Q(4,-1).
拋物線對稱軸的解析式為x=2,
當(dāng)H1為對稱軸與OP的交點(diǎn)時(shí),
有∠H1OQ=∠POQ,
∴當(dāng)yH<-2時(shí),∠HOQ>∠POQ.
作P點(diǎn)關(guān)于OQ的對稱點(diǎn)P′,連接PP′交OQ于點(diǎn)M,
過P′作P′N垂直于對稱軸,垂足為N,連接OP′,
在Rt△OCQ中,∵OC=4,CQ=1.
∴OQ=
17
,
∵S△OPQ=S四邊形ABCO-S△AOP-S△COQ-S△QBP=3=
1
2
OQ×PM,
∴PM=
6
17
17
,
∴PP′=2PM=
12
17
17
,
∵P′N∥OC,
∴∠NPP′=∠COQ.
∴△COQ∽△NPP′
CQ
OQ
=
P′N
PP′
,
∴P′N=
12
17
,PN=
48
17
,
∴P′(
46
17
,
14
17
),
∴直線OP′的解析式為y=
7
23
x,
∴OP′與NP的交點(diǎn)H2(2,
14
23
).
∴當(dāng)yH
14
23
時(shí),∠HOP>∠POQ.
綜上所述,當(dāng)yH<-2或yH
14
23
時(shí),∠HOQ>∠POQ.
點(diǎn)評(píng):函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題是較難的函數(shù)綜合題,在解題時(shí)要尋找出關(guān)鍵點(diǎn),然后正確的進(jìn)行分段討論,做到不重復(fù)、不漏解.
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3
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14
5n(n+1)
6
5n(n+1)
14
5n(n+1)
6
5n(n+1)
(用含n的代數(shù)式表示)

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