如圖,△ABC為等邊三角形,AE=CD,AD、BE相交于點P,BQ⊥AD于Q.
(1)求證:△ADC≌△BEA;
(2)若PQ=4,PE=1,求AD的長.
試題分析:(1)由已知可得△ABC是等邊三角形,從而得到∠BAC=∠C=60°,根據(jù)SAS即可判定△ADC≌△BEA;
(2)根據(jù)全等三角形的性質可得到∠ABE=∠CAD,再根據(jù)等角的性質即可求得∠BPQ=60°,再根據(jù)余角的性質得到∠PBQ=30°,根據(jù)在直角三角形中30°的角對的邊是斜邊的一半即可證得結果.
試題解析:(1)∵AB=BC=AC,
∴△ABC是等邊三角形.
∴∠BAC=∠C=60°.
∵AB=AC,AE=CD,
∴△ADC≌△BEA.
(2)∵△ADC≌△BEA,
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠CAD+∠BAD=60°,
∴∠ABE+∠BAD=60°.
∴∠BPQ=60°.
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°.
∴BP=2PQ=8.
∴BE=BP+PE=8+1=9,
又BE=AD
∴AD=9.
考點: 1.等邊三角形的判定與性質;2.三角形全等的判定與性質.
練習冊系列答案
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