Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于C，D兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OC，OD（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；
（2）利用圖中條件，求出一次函數(shù)的解析式；
（3）如圖，寫出當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值？
（4）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、D、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于C，D兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得此反比例函數(shù)的解析式，然后將點(diǎn)D（1，m）代入，即可求得m的值；
（2）由點(diǎn)C（1，4），D（4，1），利用待定系數(shù)法即可求得此一次函數(shù)的解析式；
（3）結(jié)合圖象即可求得當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值；
（4）首先可求得直線OC與OD的解析式，然后由O、D、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求得直線P₁P₂的解析式為：y=-x①，直線P₁P₃的解析式為：y=4x-15②，直線P₂P₃的解析式為：y=

1

4

x+

15

4

③，然后可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于C，D兩點(diǎn)，且點(diǎn)C（1，4），
∴k=xy=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

4

x

；
當(dāng)x=4時(shí)，m=y=

4

4

=1，
∴m=1；

（2）∵C（1，4），D（4，1），
∴

a+b=4 4a+b=1

，
解得：

a=-1 b=5

，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5；

（3）結(jié)合圖象的可得：當(dāng)0＜x＜1或x＞4是，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值；

（4）存在．
如圖，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（1，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（4，1），
∴直線OC的解析式為：y=4x，直線OD的解析式為：y=

1

4

x，
∵使以O(shè)、D、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴直線P₁P₂的解析式為：y=-x①，直線P₁P₃的解析式為：y=4x-15②，直線P₂P₃的解析式為：y=

1

4

x+

15

4

③，
聯(lián)立①②得：

x=3 y=-3

，聯(lián)立①③得：

x=-3 y=3

，聯(lián)立②③得：

x=5 y=5

，
∴P₁（3，-3）；P₂（-3，3）；P₃（5，5）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．