Question

（2013•無錫）已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為

7

2

．

Answer 1

分析：①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD；②CD是平行四邊形的一條對角線，過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，證△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D（（8-a，6+a），由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-

1

2

）²+98，求出即可．

解答：解：有兩種情況：
①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD=

62+82

=10
②CD是平行四邊形的一條對角線，
過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，
則∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中

∠BND=∠AMC ∠DBN=∠CAM BD=AC

∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
D（（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-

1

2

）²+98，
當a=

1

2

時，CD有最小值，是

98

∵

98

＜10，
∴CD的最小值是

98

=7

2

．
故答案為：7

2

．

點評：本題考查了平行四邊形性質，全等三角形的性質和判定，二次函數(shù)的最值的應用，關鍵是能得出關于a的二次函數(shù)解析式，題目比較好，難度偏大．