Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過(guò)O，A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為E，根據(jù)題意OA=4，OC=3，得：E（2，3）。
設(shè)拋物線解析式為，
將A（4，0）坐標(biāo)代入得：0=4a+3，即。
∴拋物線解析式為即。
（2）設(shè)直線AC解析式為（k≠0），
將A（4，0）與C（0，3）代入得：，解得：。
∴直線AC解析式為。
與拋物線解析式聯(lián)立得：，解得：或。
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，）。
（3）存在，分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如圖1所示：

四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN，
由對(duì)稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，
∴N₁（2，0），N₂（6，0）。
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如圖2所示：

過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3。
將y_M=代入拋物線解析式得：
，
解得：x_M=或x_M=。
∴x_N=x_M－3=或，
∴N₃（，0），N₄（，0）。
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有四個(gè)：
N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（，0），N₄（，0）。

解析試題分析：（1）由OA的長(zhǎng)度確定出A的坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式，將A的坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；。
（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo)。
（3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時(shí)，DM∥AN，DM=AN，由對(duì)稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根據(jù)OA+AN求出ON的長(zhǎng)，即可確定出N的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得△ADQ≌△NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，將y=代入得：，求出x的值，確定出OP的長(zhǎng)，由OP+PN求出ON的長(zhǎng)即可確定出N坐標(biāo)。