已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點C(0,1),且與x軸交于不同的兩點A、B,點A的坐標(biāo)是(1,0)
(1)求c的值;
(2)求a的取值范圍;
(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點,設(shè)A、B、C、D四點構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點P,記△PCD的面積為S1,△PAB的面積為S2,當(dāng)0<a<1時,求證:S1-S2為常數(shù),并求出該常數(shù).
分析:(1)把C(0,1)代入拋物線即可求出c;
(2)把A(1,0)代入得到0=a+b+1,推出b=-1-a,求出方程ax
2+bx+1=0,的b
2-4ac的值即可;
(3)設(shè)A(a,0),B(b,0),由根與系數(shù)的關(guān)系得:a+b=
,ab=
,求出AB=
,把y=1代入拋物線得到方程ax
2+(-1-a)x+1=1,求出方程的解,進(jìn)一步求出CD過P作MN⊥CD于M,交x軸于N,根據(jù)△CPD∽△BPA,得出
=
,求出PN、PM的長,根據(jù)三角形的面積公式即可求出S
1-S
2的值即可.
解答:(1)解:把C(0,1)代入拋物線得:1=0+0+c,
解得:c=1,
答:c的值是1.
(2)解:把A(1,0)代入得:0=a+b+1,
∴b=-1-a,
即ax
2+(-1-a)x+1=0,
b
2-4ac=(-1-a)
2-4a=a
2-2a+1>0,
∴a≠1,
答:a的取值范圍是a>0,且a≠1;
(3)證明:∵ax
2+(-1-a)x+1=0,
∴(ax-1)(x-1)=0,
∴B點坐標(biāo)是(
,0)而A點坐標(biāo)(1,0)
所以AB=
-1=
把y=1代入拋物線得:ax
2+(-1-a)x+1=1,
解得:x
1=0,x
2=
,
∴過P作MN⊥CD于M,交x軸于N,
則MN⊥X軸,
∵CD∥AB,
∴△CPD∽△BPA,
∴
=
,
∴
=
,
∴PN=
,PM=
,
∴S
1-S
2=
•
•
-
•
•
=1,
即不論a為何值,
S
1-S
2的值都是常數(shù).
答:這個常數(shù)是1.
點評:本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,解二元一次方程組,解一元一次方程,相似三角形的性質(zhì)和判定,根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)與X軸的交點等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵,此題是一個綜合性比較強的題目,題型較好,難度適中.