Question

已知如圖：拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．

Answer 1

分析：（1）先令y=0求出x的值即可得出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)；再令x=0，求出y的值即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再根據(jù)AP∥CB，A（-1，0）可得出直線AP的解析式，故可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，有兩點(diǎn)間的距離公式可求出AP及BC的長，再根據(jù)OB=OC=OA，∠BOC=90°可知△ABC是等腰直角三角形，即AC⊥BC，再由梯形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵令y=0，則x=±1，令x=0，則y=-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），

（2）設(shè)過B、C兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B（1，0），C（0，-1），
∴

k+b=0 b=-1

，解得

k=1 b=-1

，
∴直線BC的解析式為y=x-1，
∵AP∥CB，A（-1，0），
∴直線AP的解析式為：y=x+1，
∴

y=x+1 y=x2-1

，解得

x=-1 y=0

或

x=2 y=3

，
∴P（2，3），
∴AP=

(2+1)2+32

 =3

2

，
∵OB=OC=OA，∠BOC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AC⊥BC，
∴四邊形ACBP是直角梯形，
∵AC=BC=

12+(-1)2

=

2

，
∴S_{四邊形ACBP}=

1

2

（BC+AP）×AC=

1

2

（

2

+3

2

）×

2

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、直角梯形的判定等相關(guān)知識(shí)，難度適中．