Question

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的點，將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，延長ED交AC于點F，連接DC、AE．
（1）求證：△ADE≌△DFC；
（2）過點E作EH∥DC交DB于點G，交BC于點H，連接AH．求∠AHE的度數(shù)；
（3）若BG=

2

3

，CH=2，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)，易得DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，AD=DF，可得△ADE≌△DFC；
（2）由△ADE≌△DFC，易得ED∥BC，EH∥DC，即可得四邊形EHCD是平行四邊形，易得△AEH是等邊三角形，即可求得∠AHE的度數(shù)；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)，易得△BGH∽△BDC，又由相似三角形的對應邊成比例，易得BC的長．

解答：（1）證明：如圖，
∵線段DB順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段DE，
∴∠EDB=60°，DE=DB．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∴∠EDB=∠B．
∴EF∥BC．
∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．
∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等邊三角形．
∴AD=DF．
∴△ADE≌△DFC．

（2）解：由△ADE≌△DFC，
得AE=DC，∠1=∠2．
∵ED∥BC，EH∥DC，
∴四邊形EHCD是平行四邊形．
∴EH=DC，∠3=∠4．
∴AE=EH．
∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．
∴△AEH是等邊三角形．
∴∠AHE=60°．

（3）解：設BH=x，則AC=BC=BH+HC=x+2，
由（2）四邊形EHCD是平行四邊形，
∴ED=HC．
∴DE=DB=HC=FC=2．
∵EH∥DC，
∴△BGH∽△BDC．
∴

BG

BD

=

BH

BC

．
即

2 3

2

=

x

x+2

．
解得x=1．
∴BC=3．

點評：此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)與判定．此題屬于綜合性題目，比較難，解題時要注意仔細識圖．