【題目】如圖,ABCD中,DF平分∠ADC交AC于點(diǎn)H,G為DH的中點(diǎn).
(1)如圖①,若M為AD的中點(diǎn),AB⊥AC,AC=9,CF=8,CG=2,求GM;
(2)如圖②,M為線段AB上一點(diǎn),連接MF,滿足∠MCD=∠BCG,∠MFB=∠BAC.求證:MC=2CG.
【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠ACD=90,進(jìn)而得出HD=,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出CD=CF=8,然后由勾股定理求出CH的長(zhǎng)度,從而求出AH的長(zhǎng)度,最后利用三角形中位線的性質(zhì)即可得出MG的長(zhǎng)度;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DN∥AC,交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,首先利用AAS證明△CGH≌△NGD得出GC=GN,從而有CN=2CG,然后通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠MFC=∠NDC,∠FCM=∠DCN,再加上CF=CD利用ASA即可證△MFC≌△NDC,從而得出CM=CN,即可證明CM=2CG.
(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
,
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=∠ACD=90°,
∵G為DH的中點(diǎn),
∴CG=HG=GD,
∵CG= ,
∴HD=,
∵DF平分∠ADC,
∴∠DFC=∠ADF=∠CDF,
∴CF=CD,
∵CF=8,
∴CD=8,
在Rt△HCD中,HC=,
∵AC=9,
∴AH=5,
∵M為AD的中點(diǎn),G為DH的中點(diǎn),
∴MG=AH= ;
(2)如圖②,過(guò)點(diǎn)D作DN∥AC,交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,
∵DN∥AC,
∴∠N=∠ACN,∠DAC=∠ADN,
∵G為DH的中點(diǎn),
∴DG=HG,且∠N=∠ACG,∠CGH=∠DGN,
∴△CGH≌△NGD(AAS)
∴GC=GN,
∴CN=2CG,
∵∠MCD=∠BCG,
∴∠FCM=∠DCN,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=∠ADN,
∵∠MFB=∠BAC,∠B=∠B,且∠BMF=180°﹣∠B﹣∠BFM,∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC,
∴∠BMF=∠ACB,
∴∠BMF=∠ADN,
∴∠BMF+∠B=∠ADN+∠ADC,
∴∠MFC=∠NDC,且CF=CD,∠FCM=∠DCN,
∴△MFC≌△NDC(ASA)
∴CM=CN,
∴CM=2CG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線C1的圖象與x軸交A(﹣3,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線C1的解析式;
(2)將拋物線C1關(guān)于直線x=1對(duì)稱后的拋物線記為C2,將拋物線C1關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱后的拋物線記為C3,點(diǎn)E為拋物線C3的頂點(diǎn),在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F,使得△BEF為等腰三角形?若存在請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)(x>0)與正比例函數(shù)y=kx、 (k>1)的圖象分別交于點(diǎn)A、B,若∠AOB=45°,則△AOB的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為方便住校生晚自習(xí)后回到宿舍就寢,新安裝了一批照明路燈;一天上午小剛在觀看新安的照明燈時(shí),發(fā)現(xiàn)在太陽(yáng)光的正面照射下,照明燈的燈桿的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墻的頂端,小剛測(cè)得照明燈的燈桿的在太陽(yáng)光下的投影從燈桿的桿腳到文化走廊的墻腳的影長(zhǎng)為4.6米,同一時(shí)刻另外一個(gè)前來(lái)觀看照明路燈小靜測(cè)得身高1.5米小剛站立時(shí)在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)恰好為1米,請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出與問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的線條示意圖并求出新安裝的照明路燈的燈桿的高度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B分別在函數(shù)y=(k1>0)與函數(shù)y=(k2<0)的圖象上,線段AB的中點(diǎn)M在x軸上,△AOB的面積為4,則k1﹣k2的值為( )
A.2B.4C.6D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=75°,∠C=45°,BC=4,點(diǎn)M是AC邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于直線AB、BC的對(duì)稱點(diǎn)分別為P、Q,則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小雪設(shè)計(jì)的“作以已知線段為斜邊的等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:線段AB.
求作:以AB為斜邊的一個(gè)等腰直角△ABC.
作法:
(1)分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于P、Q兩點(diǎn);
(2)作直線PQ,交AB于點(diǎn)O;
(3)以O為圓心,OA的長(zhǎng)為半徑作圓,交直線PQ于點(diǎn)C;
(4)連接AC,BC.
則△ABC即為所求作的三角形.根據(jù)小雪設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程:
(1)使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);
(2)完成下面的證明:
證明:∵PA=PB,QA=QB,∴PQ垂直平分AB( )
在⊙O中,
∵AB為直徑,∴∠ACB=90°( )
又∵∠AOC=∠BOC=90°,∴AC=BC( ),∴△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+mx的對(duì)稱軸為直線x=2,若關(guān)于x的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t為實(shí)數(shù))在l<x<3的范圍內(nèi)有解,則t的取值范圍是( )
A.-5<t≤4 B.3<t≤4 C.-5<t<3 D.t>-5
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