Question

（2002•山西）已知：拋物線y=ax²+bx與x鈾的一個(gè)交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)A在直線y=x上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：△OAB為等邊三角形；
（2）若△OAB的內(nèi)切圓半徑為1，求出拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POB是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線OA的斜率不難得到∠AOB=60°，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知AB=OA，由此得證．
（2）由于拋物線的開(kāi)口方向不確定，因此分a＞0和a＜0兩種情況求解．以a＜0為例說(shuō)明：
可設(shè)三角形AOB的內(nèi)心為I，過(guò)A作AC⊥OB，則I必在AC上，連接IO，在構(gòu)建的直角三角形IOC中，∠IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的長(zhǎng)，也就能求出B點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．（a＞0時(shí)，解法完全相同）．
（3）如果△POB是直角三角形，那么如果過(guò)P作x軸的垂線，根據(jù)射影定理即可得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值的平方等于P點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值和P、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值的乘積．然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：（1）證明：作AC⊥OB于點(diǎn)C；
∵點(diǎn)A在直線y=x上，設(shè)A（x，x）．
在直角三角形OAC中，tan∠AOC===，
∴∠AOC=60°
由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：OA=AB，
∴△AOB為等邊三角形．

（2）解：當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)△AOB的內(nèi)心為I，則∠IOC=30°，在直角三角形IOC中，
∵IC=1，OC=．
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-=，
∴a=-1，b=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x．
當(dāng)a＞0時(shí)，同法可求，另一條拋物線的解析式為y=x²+2x．

（3）解：易知：拋物線與x軸的兩交點(diǎn)為O（0，0），B（-，0）．
且頂點(diǎn)A（-，-）在直線y=x上，
∴-=（-），
解得b=2，b=0（舍去）．
∴B（-，0）
拋物線的解析式為y=ax²+2x．
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P（m，n）．
過(guò)點(diǎn)P做PD⊥OB于D，則根據(jù)射影定理有：
PD²=OD•BD；
由題意知：y=ax²+2x，
∴，
解得：，
，
∴存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為：P（，-）或（，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了等邊三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、三角形內(nèi)心等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，難度較大．