已知拋物線上有不同的兩點E和F.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如圖,拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B,M為AB的中點,∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn),且∠PMQ=45°,MP交y軸于點C,MQ交x軸于點D.設(shè)AD的長為m(m>0),BC的長為n,求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)m,n為何值時,∠PMQ的邊過點F.
(1)
(2)(m>0)
(3)當(dāng) 或時,∠PMQ的邊過點F
解析解:(1)拋物線的對稱軸為. ……..(1分)
∵ 拋物線上不同兩個點E和F的縱坐標(biāo)相同,
∴ 點E和點F關(guān)于拋物線對稱軸對稱,則 ,且k≠-2.
∴ 拋物線的解析式為. ……..(2分)
(2)拋物線與x軸的交點為A(4,0),與y軸的交點為B(0,4),
∴ AB=,AM=BM=. ……..(3分)
在∠PMQ繞點M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°,
在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°,
在直線AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°.
∴ ∠BCM=∠AMD.
故 △BCM∽△AMD. ……..(4分)
∴ ,即 ,.
故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為(m>0). ……..(5分)
(3)∵ F在上,
∴ ,
化簡得,,∴ k1=1,k2=3.
即F1(-2,0)或F2(-4,-8). ……..(6分)
①MF過M(2,2)和F1(-2,0),設(shè)MF為,
則 解得, ∴ 直線MF的解析式為.
直線MF與x軸交點為(-2,0),與y軸交點為(0,1).
若MP過點F(-2,0),則n=4-1=3,m=;
若MQ過點F(-2,0),則m=4-(-2)=6,n=. ……..(7分)
②MF過M(2,2)和F1(-4,-8),設(shè)MF為,
則 解得, ∴ 直線MF的解析式為.
直線MF與x軸交點為(,0),與y軸交點為(0,).
若MP過點F(-4,-8),則n=4-()=,m=;
若MQ過點F(-4,-8),則m=4-=,n=. ……..(8分)
故當(dāng) 或時,∠PMQ的邊過點F.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知拋物線上有不同的兩點E和F.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)如圖,拋物線與x軸的正半軸和y軸分別交于點A和點B,M為AB的中點,∠PMQ=45°,MP交y軸于點C,MQ交x軸于點D.∠PMQ在AB的左側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn),設(shè)AD 的長為m(m>0),BC的長為n,求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在(2)的條件下,當(dāng)m,n為何值時,∠PMQ的邊過點F.
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