Question

（2012•中山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOC的直角邊OC在y軸正半軸，且頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），直線y=-x+b過點(diǎn)A，與x軸交點(diǎn)B．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（6，0）

．
（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿O-C-A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿BO的方向向O運(yùn)動，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)M都停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒．
①設(shè)△APQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②是否存在以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積與S相等？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將點(diǎn)A（2，4）代入y=-x+b，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再令y=0，求出x的值，即可得到與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）①先求出直線AB與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)，由B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可知△OBD是等腰直角三角形，再過點(diǎn)A作AN⊥OB于N，可得AN=OC=4，BN=AN=4，則當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)N，所以分兩種情況討論：（i）當(dāng)0≤t≤4，即點(diǎn)P在OC上，點(diǎn)Q在BA上時(shí)，用含t的代數(shù)式分別表示PQ、CP，再根據(jù)S=

1

2

PQ•CP即可求解；（ii）當(dāng)4＜t≤6，即點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在AO上時(shí)，延長MQ交AC于點(diǎn)E，用含t的代數(shù)式分別表示AP、QE，再根據(jù)S=

1

2

AP•QE即可求解；
②分兩種情況討論：（i）當(dāng)0≤t≤4，即點(diǎn)P在OC上，點(diǎn)Q在BA上時(shí)，先由三角形面積公式求出S_△MPQ=-

1

2

t²+3t，再根據(jù)S_△MPQ=S=

1

2

t²-5t+12列出方程，解方程即可；（ii）當(dāng)4＜t≤6，即點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在AO上時(shí)，先由三角形面積公式求出S_△MPQ=（6-t）|10-2t|，再根據(jù)S_△MPQ=S=（6-t）（t-4），列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（2，4）代入y=-x+b，
得4=-2+b，解得b=6，
∴y=-x+6，
當(dāng)y=0時(shí)，x=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．

（2）①設(shè)直線y=-x+6與y軸交于點(diǎn)D，則D（0，6），
∵B（6，0），
∴OB=OD=6，∠OBD=∠ODB=45°．
過點(diǎn)A（2，4）作AN⊥OB于N，則AN=OC=4，ON=AC=2，BN=AN=4，
∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)N．
分兩種情況討論：
（i）當(dāng)0≤t≤4時(shí)，點(diǎn)P在OC上，點(diǎn)Q在BA上，如圖1．
∵OP=t，BM=QM=t，
∴PQ∥OB，PQ=OM=OB-BM=6-t，CP=OC-OP=4-t，
∴S=

1

2

PQ•CP=

1

2

（6-t）（4-t）=

1

2

t²-5t+12；
（ii）當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在AO上，如圖2，延長MQ交AC于點(diǎn)E．
∵OC+CP=t，BM=t，
∴AP=6-t，OM=OB-BM=6-t．
∵tan∠AON=

QM

OM

=

AN

ON

，
∴

QM

6-t

=

4

2

，
∴QM=12-2t，
∴QE=EM-QM=4-（12-2t）=2t-8，
∴S=

1

2

AP•QE=

1

2

（6-t）（2t-8）=-t²+10t-24．
綜上可知，S=

1 2 t2-5t+12(0≤t≤4) -t2+10t-24(4＜t≤6)

；

②存在以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積與S相等，理由如下：
分兩種情況討論：
（i）當(dāng)0≤t≤4時(shí)，點(diǎn)P在OC上，點(diǎn)Q在BA上，如圖3．
∵S_△MPQ=

1

2

PQ•QM=

1

2

（6-t）t=-

1

2

t²+3t，S=

1

2

t²-5t+12，
∴-

1

2

t²+3t=

1

2

t²-5t+12，
整理，得t²-8t+12=0，
解得t₁=2，t₂=6（不合題意舍去）；
（ii）當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在AO上，如圖4．
∵QM=12-2t，PE=|CE-CP|=|（6-t）-（t-4）|=|10-2t|，
∴S_△MPQ=

1

2

QM•PE=

1

2

（12-2t）|10-2t|=（6-t）|10-2t|，
又∵S=

1

2

AP•QE=

1

2

（6-t）（2t-8）=（6-t）（t-4），
∴（6-t）|10-2t|=（6-t）（t-4），
∵t=6時(shí)，M與Q重合，不合題意舍去，
∴10-2t=±（t-4），
當(dāng)10-2t=t-4時(shí)，t=

14

3

；
當(dāng)10-2t=-（t-4）時(shí)，t=6舍去．
綜上可知，存在以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積與S相等，此時(shí)t的值為2或

14

3

．
故答案為（6，0）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題型，主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，三角形的面積，要注意（2）中，要根據(jù)P與Q點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解，本題難度適中．