Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB： 與x軸、y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，等腰Rt△OCD，∠D＝90°，C坐標(biāo)為（﹣4，0）．

（1）求A、B坐標(biāo)；

（2）將△OCD沿x軸正方形平移，速度為1個(gè)單位為每秒，時(shí)間為t（0≤t≤6），設(shè)△OCD與△OAB重疊面積為S，請(qǐng)寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）將△OCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)O、B、D三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）， B（6，0）；（2）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ， ， ， ．

【解析】

1）分別令x＝0，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)，令y＝0，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）分情況討論，利用特殊角度求得線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，再計(jì)算重疊部分面積．

（3）分情況討論，O為直角頂點(diǎn)，D為直角頂點(diǎn)，再利用等面積法求得線段長(zhǎng)度．

解：（1）令x＝0，y＝2，

∴A（0，2），

令y＝0，即﹣x+2＝0，

解得x＝6，

∴B（6，0）．

（2）∵C（﹣4，0），

∴OC＝4，

∵△COD為等腰直角三角形，

∴CD＝OD，設(shè)CD為a，則OD為a，

在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得，a2+a2＝42，

解得a＝2，

①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，

OO′＝t，OM＝t，

S＝OO′OM＝t2．

②2＜t≤4時(shí)，

OO′＝t，∴OC′＝4﹣t，

∴OM＝4﹣t，

S＝×（2）2﹣OC′OM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4．

③當(dāng)4＜t≤8﹣2時(shí)，

S＝×（2）2＝4．

④8﹣2＜t≤6時(shí)，

OO′＝t，

∴BO′＝6﹣t，

過(guò)M作MN垂直x軸，垂足為N，

設(shè)MN＝NO′＝x，

則BN＝x，

∴x﹣x＝6﹣t，

解得x＝，

BC′＝10﹣t，過(guò)點(diǎn)Q作x軸得垂線，垂足為P，

設(shè)PQ＝PC′＝y，則BP＝y，

∴y+y＝10﹣t，

解得y＝，

∴S＝BC′PQ﹣BO′MN＝﹣t2+8t﹣2t+16﹣34．

綜上：

（3）①如圖所示，

此時(shí)D（0，2）．

②如圖所示，

此時(shí)D（0，﹣2）．

③如圖所示，

此時(shí)∠BDO＝90°，OD＝2，OB＝6，

∴DB＝2，

過(guò)D作DE垂直于x軸，垂足為點(diǎn)E，

ODDB＝OBDE，

解得DE＝，

∴OE＝，

∴D（，）．

④如圖所示，

此時(shí)的點(diǎn)D與③中的點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D．

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ， ， ， ．