Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-5），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），直線l的解析式為y=2x+m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，求在（3）的條件下△PAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）當(dāng)m＜7時(shí)，拋物線與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，3）；（4）SPAB=6．

【解析】

（1）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)可得二次函數(shù)y=a（x+1）2+4，將點(diǎn)（2，-5）代入，即可得到拋物線的解析式，

（2）由拋物線的解析式及直線l的解析式聯(lián)立，利用△即可求出拋物線與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)m的取值范圍，

（3）由拋物線的解析式及直線l的解析式聯(lián)立，利用△=0時(shí)求出m的值，再聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，

（4）拋物線的解析式求出AB的長，利用S△PAB=ABP縱坐標(biāo)，即可求出△PAB的面積．

解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），

∴它的解析式為y=a（x+1）2+4，將點(diǎn)（2，-5）代入，得a=-1．

∴拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3．

（2）由 ，

得x2-4x+m-3=0，

∴△=16-4（m-3）=-4m+28．

當(dāng)-4m+28＞0時(shí)，解得m＜7．

即當(dāng)m＜7時(shí)，拋物線與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)．

（3）由（2）知：當(dāng)拋物線與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m=7，

由

解得，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，3）．

（4）∵拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3．拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，

∴令0=-x2-2x+3，得x1=-3，x2=1，

∴AB=4，

∴S△PAB=ABP縱坐標(biāo)=×4×3=6．