Question

如圖，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF。

（1）當(dāng)A′E//x軸時(shí)，求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)A′E//x軸，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′和E時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動(dòng)，但不與點(diǎn)O、B重合時(shí)，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知可得∠A，OE=60°，A′E=AE，
由A′E//軸，得△OA′E是直角三角形，
設(shè)A′的坐標(biāo)為（0，b）
AE=A′E=，OE=2b，+2b=2+
所以b=1，A′，E的坐標(biāo)分別是（0，1）與（，1）；
（2） 因?yàn)锳′、E在拋物線上，所以
，所以，
函數(shù)關(guān)系式為，
由得，
與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-，0）與（2，0）；
（3） 不可能使△A′EF成為直角三角形。
∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成為直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°，
若∠A′EF=90°，利用對稱性，則∠AEF=90°，A′、E、A三點(diǎn)共線，O與A重合，與已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能所以不能使△A′EF成為直角三角形。