Question

如圖1，已知四邊形OABC中的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)依次沿線段OA，AB，BC向點(diǎn)C移動，設(shè)移動路程為z，△OPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示．m，n是常數(shù)， m＞1，n＞0．
（1）請你確定n的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)動點(diǎn)P是經(jīng)過點(diǎn)O，C的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)，且在雙曲線y=上時，求這時四邊形OABC的面積．

Answer 1

解：(1) 從圖中可知，當(dāng)P從O向A運(yùn)動時，△POC的面積S=mz，
z由0逐步增大到2，
則S由0逐步增大到m，故OA=2，n=2 . 
同理，AB=1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，2).
(2)解： ∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O(0，0)，C(m ，0),∴c=0，b=-am，
∴拋物線為y=ax²-amx，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，-am²).
如圖1，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)O，C，P的拋物線為l. 當(dāng)P在OA上運(yùn)動時，O，P都在y軸上，這時P，O，C三點(diǎn)不可能同在一條拋物線上， ∴這時拋物線l不存在， 故不存在m的值.
當(dāng)點(diǎn)P與C重合時，雙曲線y=不可能經(jīng)過P，故也不存在m的值.
當(dāng)P在AB上運(yùn)動時，即當(dāng)0<x₀≤1時，y₀=2
拋物線l的頂點(diǎn)為P(，2)
∵P在雙曲線y=上，可得 m=，
∵>2，與 x₀=≤1不合，舍去
容易求得直線BC的解析式是：，
當(dāng)P在BC上運(yùn)動，設(shè)P的坐標(biāo)為 (x，y)，
當(dāng)P是頂點(diǎn)時 x=，故得y==，
頂點(diǎn)P為(，)，
∵1< x₀=<m
∴m>2，又∵P在雙曲線y=上，于是，×=，
化簡后得5m-22m+22=0，
解得，，

與題意不合,舍去.④
綜上所述，滿足條件的只有一個值：.
這時四邊形OABC的面積==