Question

（本題滿分12分）已知拋物線交x軸于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．

（1）求b、c的值并寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）連接BC，過(guò)點(diǎn)O作直線OE⊥BC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E．

求證：四邊形ODBE是等腰梯形；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 

（1）x=2

（2）四邊形ODBE是等腰梯形，證明略。

（3）存在，理由略。

解析:

（1）求出：，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x=2     ……3分

(2) 拋物線的解析式為，易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）

設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)F，易得F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），連接OD，DB，BE

∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），

∴∠BOE= ∠OBD=   ∴OE∥BD

∴四邊形ODBE是梯形                           ……5分

在和中，

OD= ，BE=

∴OD= BE

∴四邊形ODBE是等腰梯形                      …7分

(3) 存在，                                            ………8分

由題意得：     ………9分

設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，y），

由題意得：=

∴

當(dāng)y=1時(shí)，即，∴，，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，1）或(2-，1)               ……11分

當(dāng)y=-1時(shí)，即，  ∴x=2，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）

綜上所述，拋物線上存在三點(diǎn)Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）

使得=．               ……12分