Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E為BC上兩點，∠DAE=45°，F(xiàn)為△ABC外一點，且FB⊥BC，F(xiàn)A⊥AE，則下列結(jié)論：①CE=BF；②BD²+CE²=DE²；③S△ADE=

1

4

AD•EF；④CE²+BE²=2AE²，其中正確的是（　�。�

• A、①②③④
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③

Answer 1

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△AFB≌△AEC，即可得出CE=BF，根據(jù)勾股定理與等量代換可得②正確，根據(jù)在等腰三角形中，角平分線與中線為一條直線即可得出③，再根據(jù)勾股定理以及等量代換即可得出④．

解答：解：①∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，∠DAE=45°，
∴∠CAE=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD，
∠FAB=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠FAB=∠EAC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵FB⊥BC，
∴∠FAB=45°，
∴△AFB≌△AEC，
∴CE=BF，故①正確，
②：由①中證明△AFB≌△AEC，
∴AF=AE，
∵∠DAE=45°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
∴△AFD≌△AED，
連接FD，
∵FB=CE，
∴FB²+BD²=FD²=DE²，故②正確，
③：∵∠FAD=∠EAD=45°，AF=AE，
∴AD⊥EF，EF=2EG，
∴S_△ADE=

1

2

•AD•EG=

1

2

•AD•

1

2

EF=

1

4

• AD•EF，
故③正確，
④：∵FB²+BE²=EF²，CE=BF，
∴CE²+BE²=EF²，
在RT△AEF中，AF=AE，
AF²+AE²=EF²，
∴EF²=2AE²，
∴CE²+BE²=2AE²，故④正確．
故選A．

點評：本題考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性質(zhì)，此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析，難度較大．