Question

如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（0，1），矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，點(diǎn)D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B（0，2），且其面積為8：
（1）此拋物線的解析式；
（2）如圖2，若點(diǎn)P為所求拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，試判斷以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且與點(diǎn)A不重合，直線PB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為N、M，連接PO、QO．求證：△QMO∽△PNO．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)B（0，2），CF•OB=8，可知CF=4，由矩形的性質(zhì)可得出C、F點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，

1

4

x₀²+1），利用兩點(diǎn)間的距離公式可得出PB的長(zhǎng)，再根據(jù)P到x軸的距離為

1

4

x₀²+1即可得出結(jié)論；
（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，再根據(jù)PN、QM垂直x軸可得出QM∥BO∥PN，由平行線分線段成比例定理及∠QMO=∠PNO=90°即可得出△QMO∽△PNO．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（0，2），
∴OB=2，
又∵CF•OB=8，
∴CF=4，
由題意可知，點(diǎn)C（-2，2），點(diǎn)F（2，2），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=2 4a+2b+c=2 c=1

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x²+1；

（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，

1

4

x₀²+1），
則PB=

x02+( 1 4 x02-1)2

=

1

4

x₀²+1，
又點(diǎn)P到x軸的距離為

1

4

x₀²+1，
∴以點(diǎn)P為圓心、PB為半徑的圓與x軸相切；


（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，
∵PN、QM垂直x軸，
∴QM∥BO∥PN，
∴

QB

BP

=

MO

ON

，
∴

QM

PN

=

MO

NO

，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△QMO∽△PNO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定，涉及面較廣，難度較大．