【題目】如圖①,直線y=與x軸、y軸分別交于點B,C,拋物線y=過B,C兩點,且與x軸的另一個交點為點A,連接AC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點D(與點A不重合),使得S△DBC=S△ABC,若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)有寬度為2,長度足夠長的矩形(陰影部分)沿x軸方向平移,與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q,交直線CB于點M和點N,在矩形平移過程中,當以點P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形時,求點M的坐標.
【答案】(1);(2)存在,點D(8,5),理由見解析;(3)點M的坐標為(2,﹣2)或(2+2,﹣2)或(2﹣2,﹣﹣2)
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.
(2)如圖①中,作AD∥BC交拋物線于D,則S△ABC=S△BCD.求出直線AD的解析式,構(gòu)建方程組確定坐標即可.
(3)設M(m,m-3),則N(m+2,m-2),可得P(m,m2-m-3),Q[m+2,(m+2)2-(m+2)-3],推出PM=m-3-(m2-m-3),NQ=m-2-[(m+2)2-(m+2)-3],當PM=QN時,點P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,由此構(gòu)建方程即可解決問題.
(1)由題意C(0,﹣3),B(6,0),把C(0,﹣3),B(6,0)代入y=+bx+c得到,解得,∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3.
(2)如圖①中,作AD∥BC交拋物線于D,則S△ABC=S△BCD.
∵直線BC的解析式為y=x﹣3,A(﹣2,0),∴直線AD的解析式為y=x+1,由,解得或,∴D(8,5).
∵直線AD交y軸于E(0,1),點E關(guān)于點C的對稱點E′(0,﹣7),
∴過點E′平行BC的直線的解析式為y=x﹣7,由,方程組無解,
∴在直線BC的下方不存在滿足條件的點D.∴滿足條件的點D(8,5).
(3)設M(m,m﹣3),則N(m+2,m﹣2),
∴P(m,m2﹣m﹣3),Q[m+2,(m+2)2﹣(m+2)﹣3],
∴PM=m﹣3﹣(m2﹣m﹣3),NQ=m﹣2﹣[(m+2)2﹣(m+2)﹣3],
當PM=QN時,點P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,
∴|m﹣3﹣(m2﹣m﹣3)|=|m﹣2﹣[(m+2)2﹣(m+2)﹣3]|解得:m=2或2±2,
∴滿足條件的點M的坐標為(2,﹣2)或(2+2,﹣2)或(2﹣2,﹣﹣2).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,菱形OABC的頂點A的坐標為(4,3),點D是邊OC上的一點,點E在直線OB上,連接DE、CE,則DE+CE的最小值為( 。
A. 5B. +1C. 2D.
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【題目】“才飲長沙水,又食武昌魚”.因一代偉人毛澤東的佳句,“鄂州武昌魚”名揚天下.某網(wǎng)店專門銷售某種品牌真空包裝的武昌魚熟食產(chǎn)品,成本為30元/盒,每天銷售y(盒)與銷售單價x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果規(guī)定每天這種武昌魚熟食產(chǎn)品的銷售量不低于240盒,當銷售單價為多少元時,每天獲取的利潤最大,最大利潤是多少?
(3)該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè),決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程,為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3 600元,試確定這種武昌魚熟食產(chǎn)品銷售單價的范圍.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,PC切⊙O于點P,過A作直線AC⊥PC交⊙O于另一點D,連接PA、PB.
(1)求證:AP平分∠CAB;
(2)若P是直徑AB上方半圓弧上一動點,⊙O的半徑為2,則
①當弦AP的長是_____時,以A,O,P,C為頂點的四邊形是正方形;
②當的長度是______時,以A,D,O,P為頂點的四邊形是菱形.
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【題目】如圖,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60°,點O在∠B內(nèi),點D為上的動點,點M,N,P分別是AD,DC,CB的中點.若⊙O的半徑為2,則PN+MN的長度的最大值是________.
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【題目】如圖, 是⊙的直徑,點是⊙上一點, 與過點的切線垂直,垂足為點,直線與的延長線相交于點,弦平分∠,交于點,連接.
(1)求證: 平分∠;
(2)求證:PC=PF;
(3)若,AB=14,求線段的長.
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【題目】某校初三年級進行女子800米測試,甲、乙兩名同學同時起跑,甲同學先以a米/秒的速度勻速跑,一段時間后提高速度,以米/秒的速度勻速跑,b秒到達終點,乙同學在第60秒和第140秒時分別減慢了速度,設甲、乙兩名同學所的路程為s(米),乙同學所用的時間為t(秒),s與t之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)乙同學起跑的速度為______米/秒;
(2)求a、b的值;
(3)當乙同學領先甲同學60米時,直接寫出t的值是______.
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【題目】如圖,以圓O為圓心,半徑為1的弧交坐標軸于A,B兩點,P是弧上一點(不與A,B重合),連接OP,設∠POB=α,則點P的坐標是
A. (sinα,sinα) B. (cosα,cosα) C. (cosα,sinα) D. (sinα,cosα)
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