Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動．P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．在運動過程中，△PCQ關于直線PQ對稱的圖形是△PDQ．設運動時間為t（秒）．
（1）設四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數關系式；
（2）t為何值時，四邊形PQBA是梯形？
（3）是否存在時刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質可知：四邊形PCQD的面積是△PCQ面積的2倍，因此只要求出△PCQ的面積即可得出四邊形PCQD的面積．可根據P、Q的速度用時間t表示出PC和CQ的長，然后根據三角形的面積公式即可得出△PCQ的面積表達式，也就能求出y，t的函數關系式．
（2）當四邊形PQBA是梯形時，PQ∥AB，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于PC，AC，CQ，CB的比例關系式，根據這個等量關系即可求出t的值；
（3）若PD∥AB，延長PD交BC于點M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易證明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得QM=t，再由CQ+QM表示出CM，由PD與AB平行，根據兩直線平行得到兩對同位角相等，從而得出三角形PCM與三角形ABC相似，由相似得比例，把CM，CP，CA及CB的長代入列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值．
解答：解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S_△PCQ=PC•CQ=-6t²+24t
∵△PCQ與△PDQ關于直線PQ對稱
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t；

（2）當四邊形PQBA是梯形時，PQ∥AB，△PCQ∽△ACB，
則=，即=，
解得：t=2；
故t為2秒時，四邊形PQBA是梯形；

（3）設某一時刻t，PD∥AB，延長PD交BC于點M，如圖，
若PD∥AB，則∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC
從而 =，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB==20，
∴QM=t，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴=，即 =，
解得t=．
點評：此題考查了折疊的性質，相似三角形的判定與性質，以及勾股定理，本題是一道動態(tài)幾何題，綜合性較強，區(qū)分度較大，有一定的難度．鍛煉了學生利用關系式求值的運算技能和從情景中提取信息、解釋信息、解決問題的能力，同時運用的數學思想主要是數學建模思想．本題的第三問計算量比較大，其中確定出PD∥AB時t的值是解題的關鍵．