Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．
（2）問(wèn)t滿足什么條件時(shí)，△BCP為直角三角形？
（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm，

∴出發(fā)2秒后，則CP=2cm，

∵∠C=90°，

∴PB= = cm，

∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=2+5+ =7+ （cm）

（2）解：∵AC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，

∴P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)△BCP為直角三角形，

∴0＜t≤4，

當(dāng)P在AB上時(shí)，CP⊥AB時(shí)，△BCP為直角三角形，

∵ ×AB×CP= AC×BC，

∴ ×5×CP= 3×4，

解得：CP= cm，

∴AP= = cm，

∴AC+AP= cm，

∵速度為每秒1cm，

∴t= ，

綜上所述：當(dāng)0＜t≤4或t= ，△BCP為直角三角形

（3）解：當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，

∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，

∴t+2t﹣3=3，

∴t=2；

當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，

∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，

∴t﹣4+2t﹣8=6，

∴t=6，

∴當(dāng)t=2或6秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．

【解析】（1）首先利用勾股定理計(jì)算出AC長(zhǎng)，根據(jù)題意可得CP=2cm，再利用勾股定理計(jì)算出PB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得△ABP的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)△BCP為直角三角形，由此可得0＜t≤4；當(dāng)P在AB上時(shí)，CP⊥AB時(shí)，△BCP為直角三角形，首先計(jì)算出CP的長(zhǎng)，然后再利用勾股定理計(jì)算出AP長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．（3）分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=3；當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和勾股定理的逆定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．