Question

已知拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，連接AB，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若拋物線上有一點(diǎn)F（-k-1，-k²+1），當(dāng)m，n為何值時(shí)，∠PMQ的邊過點(diǎn)F？

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)（4，0）代入拋物線解析式可求出b的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）先求出AB、BM的長度，通過證明∠BCM=∠AMD，判斷△BCM∽△AMD，利用對應(yīng)邊成比例可求出n和m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出k的值，分別討論MP過點(diǎn)F，和MQ過點(diǎn)F的情況，分別得出m、n的值即可．
解答：解：（1）將點(diǎn)A（4，0）代入拋物線解析式可得：0=-×4²+4b+4，
解得：b=1，
故拋物線解析式為y=-x²+x+4；

（2）拋物線y=-=-x²+x+4與x軸的交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），
則AB=4，AM=BM=2，
在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°，
則∠BCM=∠AMD，
故△BCM∽△AMD，
則=，即=，n=，
故n與m之間的函數(shù)關(guān)系式為n=（m＞0）．

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-x²+x+4上，
∴-（-k-1）²+（-k-1）+4=-k²+1，
化簡得，k²-4k+3=0，
解得：k₁=1，k₂=3，
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8），
①M(fèi)F過點(diǎn)M（2，2）和F₁（-2，0），設(shè)MF為y=kx+b，
則，
解得：，
故直線MF的解析式為y=x-，
直線MF與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），與y軸交點(diǎn)為（0，1），
若MP過點(diǎn)F（-2，0），則n=4-1=3，m=，
若MQ過點(diǎn)F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=，
②MF過點(diǎn)M（2，2）或點(diǎn)F₁（-4，-8），設(shè)MF為y=kx+b，
則，
解得：，
故直線MF的解析式為y=x-，
直線MF與x軸的交點(diǎn)為（，0），與y軸交點(diǎn)為（0，-），
若若MP過點(diǎn)F（-4，-8），則n=4-（-）=，m=，
若MQ過點(diǎn)F（-4，-8），則m=4-=，n=，
故當(dāng)，，或時(shí)∠PMQ的邊過點(diǎn)F．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的問題，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解決綜合題的能力，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．