Question

如圖：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．

（1）當△PQC的面積是四邊形PABQ的面積時，求CP的長．

（2）當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長．

 

 

Answer 1

（1）2.（2）．

【解析】

試題分析：（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當△PQC的面積是四邊形以PABQ的面積時，△CPQ與△CAB的面積比為1：4，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出CP的長；

（2）由于△PQC∽△ABC，根據相似三角形的性質，可用CP表示出PQ和CQ的長，進而可表示出AP、BQ的長．根據△CPQ和四邊形ABQP的周長相等，可將相關的各邊相加，即可求出CP的長．

試題解析：（1）∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

∵S△PQC=S四邊形PABQ，

∴S△PQC：S△ABC=1：4，

∴，

∴CP=CA=2；

（2）∵△PQC∽△ABC，

∴，

∴，

∴CQ=CP，

同理：PQ=CP，

∴C△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+CP+CP=3CP，

C四邊形PABQ=PA+AB+BQ+PQ

=4-CP+AB+3-CQ+PQ

=4-CP+5+3-CP+CP

=12-CP，

∴12-CP=3CP，

∴CP=12，

∴CP=．

考點：相似三角形的判定與性質．