Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點E在AB上且點C和點D重合時，若點M、N分別是DB、EC的中點，則MN與EC的位置關系是

 

，MN與EC的數(shù)量關系是

 

（2）探究：若把（1）小題中的△AED繞點A旋轉一定角度，如圖2所示，連接BD和EC，并連接DB、EC的中點M、N，則MN與EC的位置關系和數(shù)量關系仍然能成立嗎？若成立，請以逆時針旋轉45°得到的圖形（圖3）為例給予證明位置關系成立，以順時針旋轉45°得到的圖形（圖4）為例給予證明數(shù)量關系成立，若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質以及三角形中位線定理得出得出MN與EC的位置關系和MN與EC的數(shù)量關系；
（2）首先得出△EDM≌△FBM（SAS），進而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，進而得出MN⊥EC，再利用△EDM≌△FBM（AAS），
得出，MN與EC的數(shù)量關系．

解答：解：（1）MN⊥EC，MN=

1

2

EC；
理由：∵當點E在AB上且點C和點D重合時，點M、N分別是DB、EC的中點，
∴MN是三角形BED的中位線，
∴MN

∥

.

1

2

BE，
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，
∴BE=DE，∠AED=90°，
∴MN與EC的位置關系是：MN⊥EC，MN與EC的數(shù)量關系是：MN=

1

2

EC．
故答案為：MN⊥EC，MN=

1

2

EC；

（2）MN⊥EC，MN=

1

2

EC；
理由：如圖3，連接EM并延長到F，使EM=MF，連接CM、CF、BF．
在△EDM和△FBM中，

DM=MB ∠EMD=∠FMB ME=FM

，
∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，
∴∠FBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△FBC中，

AE=BF ∠EAC=∠FBC AC=BC

，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC，∠FCB=∠ECA，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，
∴EC⊥FC，
又∵點M、N分別是EF、EC的中點，
∴MN∥FC，
∴MN⊥EC，
如圖4，連接EM并延長交BC于F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，
在△EDM和△FBM中，

∠MFB=∠DEM ∠FBM=∠EDM BM=DM

，
∴△EDM≌△FBM（AAS），
∴BF=DE=AE，EM=FM，
∴MN=

1

2

FC=

1

2

（BC-BF）=

1

2

（AC-AE）=

1

2

EC．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質和三角形中位線定理等知識，熟練利用三角形中位線定理是解題關鍵．