Question

半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P．已知BC∶CA = 4∶3，點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧CP的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)．

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值，并求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，如圖所示，此時(shí)CP⊥AB于D，

      

又∵AB為⊙O的直徑，         ∴∠ACB =90°．

∵AB=5,  BC∶CA=4∶3，      ∴BC = 4, AC=3．

又∵AC?BC=AB?CD，        ∴ ,  ．

在Rt△PCQ中，∠PCQ = 90°,  ∠CPQ =∠CAB，

∴.  

∴．        

(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧CP的中點(diǎn)時(shí),如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，

     

∵P是弧AB的中點(diǎn), ∠PCB=45°,    ∴．

又∠CPB=∠CAB，               ∴tan∠CPB= tan∠CAB=，

即    ,  從而．

由（1）得，．

(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在Rt△PCQ中，有．

所以PC最大時(shí)，CQ取到最大值．

∴當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC 取最大值 5時(shí)，CQ最大，最大為．