【題目】用一條直線截三角形的兩邊,若所截得的四邊形對角互補(bǔ),則稱該直線為三角形第三條邊上的逆平行線.如圖1,DE為△ABC的截線,截得四邊形BCED,若∠BDE+∠C=180°,則稱DE為△ABC邊BC的逆平行線.如圖2,已知△ABC中,AB=AC,過邊AB上的點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作邊AB的逆平行線EF,交邊BC于點(diǎn)F.
(1)求證:DE是邊BC的逆平行線.
(2)點(diǎn)O是△ABC的外心,連接CO.求證:CO⊥FE.
(3)已知AB=5,BC=6,過點(diǎn)F作邊AC的逆平行線FG,交邊AB于點(diǎn)G.
①試探索AD為何值時(shí),四邊形AGFE的面積最大,并求出最大值;
②在①的條件下,比較AD+BG______AB大小關(guān)系.(“<、>或=”)
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)①當(dāng)AD=,四邊形有最大值,最大值為,②=
【解析】
(1)根據(jù)題干條件可證得∠B=∠ACB,則∠BDE+∠B=180°,∠BDE+∠ACB=180°,結(jié)論得證;
(2)連接AO,證得∠FEC=∠B,由OA=OC可得∠OAC=∠OCA,∠BAO=∠OAC,證出∠FEC+∠ACB=90°,即CO⊥FE;
(3)①由題意設(shè)FC=x,則BF=6-x,證△FEC∽△ABC,可得,同理可得,四邊形AGFE的面積可表示為S△ABC-S△EFC-S△BFG,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大值;
②由①知點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),連接DF,根據(jù)EF為AB邊的逆平行線,可證得DF為AC邊的逆平行線,則G點(diǎn)與D點(diǎn)重合,則AD+BG=AB.
解:(1)證明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵DE∥BC,
∴∠BDE+∠B=180°,∠BDE+∠ACB=180°,
∴DE是邊BC的逆平行線.
(2)證明:如圖,連接AO,
∵EF是邊BA的逆平行線,
∴∠AEF+∠B=180°,
∵∠AEF+∠FEC=180°,
∴∠FEC=∠B,
∵點(diǎn)O是△ABC的外心,
∴OA=OC,OA平分∠BAC,
∴∠OAC=∠OCA,∠BAO=∠OAC,
∵∠BAO+∠B=90°,
∴∠FEC+∠ACB=90°,
∴CO⊥FE.
(3)①設(shè)FC=x,BF=6-x,S四邊形AGFE=y,
∵∠FEC=∠B,∠FCE=∠ACB,
∴△FEC∽△ABC.
∴,
∴,
同理可得S△BFG=
∴y=S△ABC-S△EFC-S△BFG=12-=-,
∴當(dāng)x=3時(shí),有AD=,此時(shí)y有最大值,最大值為.
②在①的條件下CF=BF=3,如圖,連接DF,
∵BF=CF,∠B=∠C,BD=CE,
∴△BDF≌△CEF(SAS),
∴∠BDF=∠CEF,∠BFD=∠EFC,
∴∠BFE=∠DFC,∠AEF=∠ADF.
∵∠AEF+∠B=180°,∠A+∠BFE=180°,
∴∠C+∠ADF=180°,∠A+∠DFC=180°.
∴FD為邊AC的逆平行線,
由題意可知D與G點(diǎn)重合,
∴AD+BG=AB,
故答案為:=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于O,EO⊥AC.
(1)若△ABE的周長為10cm,求平行四邊形ABCD的周長;
(2)若∠ABC=78°,AE平分∠BAC,試求∠DAC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列事件是必然事件的是( )
A.拋擲一枚硬幣四次,有兩次正面朝上B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次,命中十環(huán)
C.打開電視頻道,正在播放《奔跑吧,兄弟》D.方程必有實(shí)數(shù)根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在研究相似問題時(shí),甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下:
甲:將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張,得到新三角形,它們的對應(yīng)邊間距為1,則新三角形與原三角形相似.
乙:將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張,得到新的矩形,它們的對應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與原矩形相似.
對于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是( )
A.甲對,乙不對 B.甲不對,乙對 C.兩人都對 D.兩人都不對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的最大公里數(shù)(單位:km/L),如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況,下列敘述正確的是( 。
A. 以相同速度行駛相同路程,甲車消耗汽油最多
B. 以10km/h的速度行駛時(shí),消耗1升汽油,甲車最少行駛5千米
C. 以低于80km/h的速度行駛時(shí),行駛相同路程,丙車消耗汽油最少
D. 以高于80km/h的速度行駛時(shí),行駛相同路程,丙車比乙車省油
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0.
(1)若此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)Rt△ABC的斜邊長c=,且兩直角邊a和b恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí),求Rt△ABC的面積.
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【題目】如圖,直線yx+3分別與x軸,y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,拋物線y=x2+2x﹣2與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)E在拋物線y=x2+2x﹣2的對稱軸上移動(dòng),點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng),CE+EF的最小值是( 。
A.4B.4.6C.5.2D.5.6
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為D,AB,DC的延長線交于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若BE=3,CE=3,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣3,0),B(l,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且滿足S△PAO=2S△PCO,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接BC,點(diǎn)E是x軸一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),若以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).
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