【題目】閱讀理解:

如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);如果這三個(gè)三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).解決問(wèn)題:

1)如圖1,A=B=DEC=55°,試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn),并說(shuō)明理由;

2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5BC=2,且A,BC,D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E;

拓展探究:

3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),試探究ABBC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1)點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).理由見解析;

2見解析;

3

【解析】

試題分析:1)要證明點(diǎn)E是四邊形ABCDAB邊上的相似點(diǎn),只要證明有一組三角形相似就行,很容易證明ADE∽△BEC,所以問(wèn)題得解.

2)根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似得到強(qiáng)相似點(diǎn)的兩種情況即可.

3)因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCDAB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),所以就有相似三角形出現(xiàn),根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例,可以判斷出AEBE的數(shù)量關(guān)系,從而可求出解.

解:(1)點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).

理由:∵∠A=55°,

∴∠ADE+DEA=125°

∵∠DEC=5,

∴∠BEC+DEA=125°

∴∠ADE=BEC.(2分)

∵∠A=B,

∴△ADE∽△BEC

點(diǎn)E是四邊形ABCDAB邊上的相似點(diǎn).

2)作圖如下:

3點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),

∴△AEM∽△BCE∽△ECM,

∴∠BCE=ECM=AEM

由折疊可知:ECM≌△DCM,

∴∠ECM=DCM,CE=CD

∴∠BCE=BCD=30°,

BE=CE=AB

RtBCE中,tanBCE==tan30°,

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